Название: Вища математика

Жанр: Вища математика

Просмотров: 6320


3.6. екстремум функції двох змінних. найбільше та найменше значення функції у замкненій області

Якщо функція г = ґ(ж, у) диференційовна у точці М0(х0, у0), тоді вона має у цій точці максимум або мінімум, якщо виконуються необхідні та достатні умови існування екстремуму.

Необхідні умови екстремуму

Функція г = ґ(х, у) може мати екстремуми тільки у тих точках, у яких

^=0   Іі=0

дх ду

при х = х0, у = у.

Ці точки називають стаціонарними.

Достатні умови екстремуму

Якщо функція г = ґ(х, у) має у деякому околі точки ^Ц(х0, у0) неперервні другі похідні і у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму, тоді якщо позначити

27

дх1 --А

= с,

дх д У х=х0

В,

та обчислити вираз

АС — В2

у точці М0(х0, у) функція г = /"(х, у) має:

1) максимум, якщо Д > 0, А < 0;

2) мінімум, якщо Д > 0, А > 0;

3) не має екстремуму, якщо Д < 0;

4) якщо Д = 0 — може мати екстремум або ні (треба провести додаткові дослідження).

Для знаходження найбільшого (найменшого) значення функції у замкненій області Д, треба знайти усі максимуми (мінімуми) функції, які вона досягає всередині області, а також найбільше і найменше значення функції на межі області. Найбільше (найменше) з усіх цих чисел і буде найбільшим (найменшим) значенням функції у замкненій області Д.

д1 г

д1 г

д1 г

1

у

д

Д

Приклад.  Знайти екстремум і найбільше та найменше значення функції г = 5х + 4у — х2 — ху — у2 в області х > 0, у > 0, х + у < 4. Розв'язання:

Вказана область є трикутник, обмежений прямою х + у = 4 і координатними осями (рис. 1). Для розв'язання задачі досить знайти екстремум функції в цій області і виявити зміни функції на межах області.

0     1    2 Мі З А

Рис. 1

Знаходимо частинні похідні:

г' = 5 — 2х — у г' = 4 — х — 2 у.

Стаціонарні точки визначимо з системи

|5 - 2х- у = 0 [4 - х - 2у = 0.

28

|5 - 2х- у= 0      |5 - 2х- у = 0 |5 - 2х- у= 0      їх = 2

[4 - х- 2у= 0 ° [-8 + 2х+ 4у= 0 ° [-3 + 3у= 0    ° [у= 1.

Отже, критична точка — М0(2; 1). Знайдемо величину Д = АС — В2.

Оскільки А = г'' = (г)' = —2; С = г" = (г')' = —2;

В = (г')' = —1, то Д = 4 — 1 = 3 > 0 і А < 0.

Таким чином, точка М0(2; 1) — точка максимуму. гтах (2; 1) = 7.

Вивчимо зміни функції на межах області. На осі 0х (у = 0) функція г є функцією однієї змінної х:

г = ф (х) = 5х — х2.

Вона має критичну точку 7Ц(5/2; 0). В цій точці

г (5/2; 0) = 6,25.

На кінцях відрізку 0А функція приймає значення

г (0; 0) = 0; г (4; 0) = —5.

Отже, на відрізку 0А функція досягає найбільшого значення в точці М1(5/2; 0) (воно дорівнює 6,25) і найменшого, рівного —5, в точці А (4;0). На осі 0у (х = 0) функція г є функцією однієї змінної у

г = ¥(у) = 5у — у2.

Ця функція має стаціонарну точку 71^(0; 1/2), в якій

2(0; 1/2) = —2.

На кінцях відрізку 0В вона набуває значень г(0; 0) = 0; г(0; 4) = 0. Отже, на відрізку 0В функція досягає найбільшого значення, рівного 0, в точках 0 і В, а найменшого, рівного —2, в точці Мг

На прямій х + у = 4 (у = 4 — х) функція є також функцією однієї змінної х:

г = 2х2 — 5х.

її стаціонарною точкою є точка 7Ц(5/2; 3/2), в якій функція набуває значення г(5/2; 3/2) = 8,75.

Порівнюючи значення функції в точках 0 (0; 0), 77^(0; 1/2), В (0; 4), М3(5/2; 3/2), А(4;0), М1(5/2; 0) і М0(2; 1), заключаємо, що функція г = 5х + 4у — х2 — ху — у2 приймає найменше значення, яке дорівнює —5, в точці А(4;0) і найбільше значення, яке дорівнює 8,75, в точці Мз(5/2; 3/2).

29

Оцените книгу: Проголосовало: 3 Рейтинг: 4

 

Комментарии:

Комментарий добавил: кабан
Дата: 2014-05-27

Повне дє...мо!!!!!!!

Комментарий добавил: $$$An0n1m$$$
Дата: 2014-05-23

74&g4%bk^^^32h$@*h67557(666)-jh7#

Комментарий добавил: vfhbyt
Дата: 2013-11-10

jgjhgjgh hgjh hg ghtg/

Комментарий добавил: виктор
Дата: 2012-12-24

щоб писати правила вивчи вищу математику

Добавление комментария: