Название: Вища математика

Жанр: Вища математика

Просмотров: 5809


5.2. Інтегрування дробово-раціональних функцій

Р (х)

Дробово-раціональні функції мають вигляд   т > , де Р (х) та    (х) —

многочлени степеня т та п(п ф 0). Раціональний дріб називається правильним, якщо т < п і неправильним, якщо т > п. У неправильному дробу завжди можна виділити цілу частину і зобразити його у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу. Кожний правильний дріб розкладається на суму елементарних раціональних дробів типу

А Мх + N

-к, або —-ге, якщо р2 — 4д < 0.

(х- а) (х2 + рх + д)

Невідомі А, М, N знаходяться методом невизначених коефіцієнтів. Інтеграли від елементарних дробів знаходять у вигляді раціональних функцій, логарифмів та арктангенсів.

Приклад. Знайти інтеграл: ^-

х2 + 2х +1 Розв'язання:

Підінтегральна функція — неправильний дріб. Виділимо цілу частину звичайним діленням чисельника на знаменник.

Маємо

г_хгіх— = г , _ + Г 3х + 1—ох = І, + /,, ]х2 + 2х+1   ^     >      ]х2 + 2х+1 12

I, = | (х - іуь =   - х +

Підінтегральну функцію другого інтеграла розкладемо на елементарні дроби:

3х+1      3х+1       А В

х2 + 2х +1   (х +1)2   (х +1)2   х +1

Зведемо до спільного знаменника вираз у правій частині та прирівняємо чисельники дробів:

3х + 1 = А + В(х + 1).

х3 сіх

39

Використаємо умову рівності двох многочленів (рівність коефіцієнтів при однакових степенях ж) і знайдемо А і В:

В=3

В = 3

В + А = 1      А = -2 .

Отже,

—г——-—сіх = -2—гсіх +   3  сіх = 2—— + 31пх + 1 + С,

х+ї х+ї

Xі х2 2

—„-Сіх =--х +-+ 31п І х +1 + С.

х2 + 2х +1       2        х +1       1 1

х

0

х

2

а

Оцените книгу: Проголосовало: 3 Рейтинг: 4

 

Комментарии:

Комментарий добавил: vfhbyt
Дата: 2013-11-10

jgjhgjgh hgjh hg ghtg/

Комментарий добавил: виктор
Дата: 2012-12-24

щоб писати правила вивчи вищу математику

Добавление комментария: