Название: Вища математика

Жанр: Вища математика

Просмотров: 6654


1. границя І неперервнІсть функцІЇ

Нехай функція y = /"(x) визначена у кожній точці інтервалу (a, b), можливо, за винятком точки x0 є (a, b). Число А називається границею цієї функції в точці х0, якщо для будь-якого малого є > 0 знайдеться 5 (є) > 0 таке, що для всіх x(Vx), які задовольняють нерівності | x — х0 | < 5, виконується нерівність

| /(x) — A | < є.

Якщо таке число А існує, то кажуть, що функція y = /"(x) має границю в точці х0 і записують

lim  f (x) = A.

0

Односторонні границі функції

Число А+ називається правою границею функції в точці х0, якщо для будь-якого х є (х0, х0 + 5) виконується нерівність

| /(x) — A+ | < є.

Число А- називається лівою границею функції в точці а, якщо для будь-якого х є (х0 — 5, х0) виконується нерівність

| /(x) — A- | < є.

Якщо х — х0 (х прямує до х0) залишаючись меншим х0 (x < х0), то пишуть х — х0 — 0 (зліва).

Якщо х — х0 (x > х0), то пишуть х — х0 + 0 (справа).

Якщо А+ = А- = А, говорять, що функція /"(x) в точці х0 має границю А.

Якщо     lim    /(x) =    lim    /(x) = lim  /(x) = /(x0) — функція на-

0 0 0

зивається неперервною в точці х0.

Точка х0 називається точкою розриву функції /(x), якщо /(x) не є неперервною в ній.

Класифікація розривів функції

Точка х0 називається:

1) точкою усувного розриву функції /(x), якщо існує Um /(x), але /(x) не визначена в точці х0, тобто xlimx f (x) *■ f (x0);

2) точкою розриву першого роду, якщо існують А+ і А-, але

А+ ф А-;

7

3) точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує принаймні одна з однобічних границь, тобто, А+ = ±~ або А- = або ж А+ = А- = ±~. (Позначення ±~ треба розуміти як +• або -•.)

Порівняння функцій

Функція y = f(x) називається нескінченно великою при х — х0, якщо

lim  / (x) =

0

тобто VN існує 5(N таке, що при х є (х0 — 5, х0 + 5)| /(x)| > N.

Функція y = a(x) називається нескінченно малою при х — х0, якщо

lim а (x) = 0.

0

а (x)

Якщо а(х) та В(х) — нескінченно малі функції та   lim —= 1,

w       FW x^xo ß (x)

то а(х) i ß^) — еквівалентні (а(х) ~ ß(х)). Так, якщо х — 0, то sin x ~ x tg x ~ x; ln(1 + x) ~ x; arcsin x ~ x; e1 — 1 ~ x; 1 — cos x ~ x2/2; (1 + x)k — 1 ~ kx і т.д. (Еквівалентність двох функцій полягає в їх рівнозначності, тому одну з них можна замінити іншою).

Теореми про границі

Якщо   lim  U(x) = A,   lim  V(x) = B, то:

x—у x x ^ x

о 0

1. xl—x C = C(де C — const);

xx0

2. lim CU(x) = C • A;

0

3. x—m (U(x) + V(x)) = A + B;

о

4. x—m (U(x)V(x)) = A ■ B

0

5. lim =A (B ф 0);

6.   lim ln U(x) = ln lim  U(x) = ln A, (A > 0);

x" yx x

7.   lim a F« = a - ЛW = a*

8

У випадку, коли U(x) і Ид) нескінченно великі в точці х = х0, при обчисленні (U(x) — V(x)) виникає невизначеність типу — — —. Ана-

0

логічно при обчисленні   lim Uixr , У якого U(x) і V(x) нескінченно

x—xQ у (x)

великі в точці х = х0, виникає невизначеність типу — при х -— х0. Невизначеність типу 0 при х — х0 вищевказаного дробу виникає у випадку, коли

U(x) і V(x) нескінченно малі в точці х0. Існують і інші види невизначено-стей, наприклад 0 . —, 1—. Обчислення границь у всіх цих випадках називається розкриттям невизначеності.

Обчислення границь функцій у багатьох випадках проводиться за допомогою двох важливих границь.

Перша важлива границя

..    sin x ,

lim-= 1.

x—0 x

Можливі модифікації:

,.    sin kx   ,    ,. tgx

lim -= k;   lim -s— = 1.

x—0   x x—0 x

Друга важлива границя

lim (1 + x)1 = lim fl + — ) =  lim fl + — ) = e, x^0v     '    x^-{    x) x)

де e = 2,71828...

Зауваження. Логарифм з основою e називається натуральним логарифмом і позначається lnx (ln x = log^x). Він має ті ж самі властивості, що і logax.

Приклад   1.  Обчислити границю:

x2 + 4x-5 lim -2—-—.

Розв'язання:

Підставляючи х = х0 = 2, з урахуванням теорем 1—5, маємо:

x2 +4x-57

lim -:-= —.

x^2    x2 -13

9

Приклад  2. Обчислити границю:

x2 + 4x - 5

lim-щ-.

x—1   x2 -1

/азвйзаннй.'

Підставляючи х = х0 = 1, маємо невизначеність типу ^ О j. Для її розкриття перетворимо дану функцію, скоротивши чисельник і знаменник на (х — Х>) = (х — 1).

lim x2 +/x-5 = f°l = lim (X + 5)(X-) = lim x±5 = 3. x—1    x2 -1      l. 0 )   x—1 (x +1)( x -1)   x—1 x +1

Приклад  3. Обчислити границю:

,.    sin ax

1im ——;—; a, b = const. x—0 sin bx

/одакзаннж'

Маємо невизначеність типу ^ OJ. Перетворимо функцію з метою зведення її до вигляду 1 важливої границі.

..    a sin ax      ..    sin ax

lim - a lim -

lim sin ax = x—O    ax    =   x—O   ax   = £

x—Osin bx    lim b sin bx   b lim sin bx b'

x—O    bx        x—O bx

Приклад   4. Знайти границю:

2x2 + x+1 lim -:-.

x-—2x2 +x-1

/Ьлвйзаннж'

Маємо невизначеність І — І. Ділимо чисельник і знаменник на х2 (на х з

найбільшим показником степеня). Враховуючи, що lim ~т = Ота Jim — = 0,

x-— x2 x-— x

знайдемо:

,.    2x2 + x +1    ,.    2 + 1/x + 1/x2 ,

lim —5-- = lim -—T-.-77—7 = 1-

x—<*> 2x2 + x -1   x—<*> 2 + 1/x -1/x2

10

Приклад 5. Знайти границю:

1/ x

lim (1 + 2х) Розв'язання:

Маємо невизначеність (1"). Заміною t = 2x зведемо вираз до другої важливої границі. Маємо:

Шл (1 + 2х?x = (1-):

t = 2x x — 0 t — 0 : lim (1 + tf" = lim ((1 + t)Vf = e2.

Приклад   6.  Обчислити границю:

lim (Vх2 + 2 -Vх2 - 2 Розв язання:

Маємо невизначеність типу • — Розкриємо її, домноживши і розділивши функцію на спряжену їй:

-4x^-2]           + 4x^-2]           (x2 +2) - (x2-2) lim ^-,       п , ->- = lim А-^-'--

х—°° л/ІЧ2 + 4x^2 х—^4хГ+2 + 4хГ-2

= lim   ,-4 ,—= = 0.

х-^VX2^ +7хг-2

Приклад   7.  Знайти границю:

arctg 3x

lim —--.

x—0 6x

Доведемо спочатку, що arctg х ~ х при х — 0. Введемо заміну y = arctg х. Тоді х = tg y і y — 0, якщо х — 0. Отже,

arctg х y У 111

lim -5— = lim      = lim —— lim cos y = 1 1 = 1,

х —0    х      y—0 tgy   y—0 sin y y—0

що й треба було довести. Значить, arctg 3х ~ 3х, при х — 0, а тому

..    arctg 3x    ..    3x   3 1

lim--— = lim — = — = —.

x—0    6x      x—0 6x   6 2

11

Запитання для самоконтролю

1 Означення границі функції в точці?

2 Що називається лівою (правою) границею функції в точці.

3 Сформулювати властивості нескінченно малих (великих) функцій.

4 Дати означення неперервної функції в точці.

5 Який розрив називається: а) усувним; б) розривом I роду; в) розривом II роду?

6 Порівняння нескінченно малих функцій.

7 Сформулювати теореми про границі суми, добутку і частки.

sin x

8 Довести: lim -= 1.

x—0 x

9. Довести: а) ln (1 + х) ~ х; б) є? — 1 ~ х; в) (1 + х)к — 1 ~ кх, при х —

0.

Обчислити границю: sin3x

1.1. а) Üm

Завдання для самостійної роботи

cos(х/ 2)

L2. а) Ит

1.3. а) lim

x—0 Vx + 2 -уі2 ''

sin (x + Й) - sin (x - Й) _

arcsin (1 - 2x)

x—1/2     4 x2 -1

sin4x

1.4. a) hmn-7=rT;

X—0sl x + 1 - 1

,.    2x sin x

1.5. a) Imi --;

x—0 cos x -1

,.      1 - COS Д2У

1.6. a) lim -j-;

1 - cos2x + tg2x

1.7. a) lim -

x—0

а 2 x—p2 cos2 x

1.8. a) Um

xsin x sin x

tg2^

6)

6) lim -

1 - 10n

б) lim

10л+1' sin (1 - x)

Hill і—

x- 1    x -1

6)  lim  (yjx2 + ax -уіx2 - axj

ln (1-

6) lim , x—0 x

e-x -1

6) lim-;

x—0 x

1-x

6) lim (1 - 4x) x ;

6) x- 0

e-3x -1

6) lim -;

x-—~ x

Й

12

Література: 1, гл.4, § 1—8.

13

Оцените книгу: Проголосовало: 3 Рейтинг: 4

 

Комментарии:

Комментарий добавил: Людмила Михайлівна Прохорова
Дата: 2014-10-05

(x^3+y^3)^(1/2) знайти частинні похідні

Комментарий добавил: кабан
Дата: 2014-05-27

Повне дє...мо!!!!!!!

Комментарий добавил: $$$An0n1m$$$
Дата: 2014-05-23

74&g4%bk^^^32h$@*h67557(666)-jh7#

Комментарий добавил: vfhbyt
Дата: 2013-11-10

jgjhgjgh hgjh hg ghtg/

Комментарий добавил: виктор
Дата: 2012-12-24

щоб писати правила вивчи вищу математику

Добавление комментария: